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Si definimos a los datos 5 indicadores considerados en el área de Vivienda como X 1, X 2, X3 3 . X55 que se encuentran debidamente normalizadosLa primera componente Z 1i al igual que las siguientes, se expresa como una combinación lineal de las variables originales, es decir:Z1i =m 11 C 1 i + m1 2 C2 i + +m 1 p C p1. Donde m 11, m 12, m 13, m 1p es el vector característico, de pesos o coeficientes cuyo valor queremos determinar. Una vez calculado m 1 es posible calcular los valores de Z 1Matricialmente se puede expresar
O también Z 1 = X m1En general, tal como se indicó anteriormente al resolver la ecuación , se obtienen p raíces características. Si toma la raíz característica mayor ( l1 ) , se puede hallar el vector característico asociado aplicando : m ´1 m1 = 1.CUADRO Nş5.5 VARIANZA EXPLICADA POR COMPONENTES
El Cuadro Nş5.5 presenta las raíces características y su aporte en la varianza total explicada. Estas raíces constituyen a su vez las varianzas de las componentes, es decir : Var Zh = m ´h V m h = l hDonde V es la Matriz de correlaciones, por cuanto las variables están tipificadas. Adoptando como medida de variabilidad de las variables originales la suma de sus varianzas, la proporción de la componente h-esima en la variabilidad total será: : l h / Sl h o lo que es lo mismo: l h / pLuego el vector de ponderaciones o pesos que se aplica a las variables originales para obtener la primera componente principal es el vector característico asociado a la raíz característica mayor de la matriz V. El Cuadro N°5.6 presenta el primer vector característico, que constituye las ponderaciones que se tienen que aplicar a los datos estandarizados para hallar la primera componente principal. CUADRO Nş5.6 COMPONENT SCORE COEFFICIENT MATRIX
La Correlación entre las componentes principales y las variables originales es posible calcularlas mediante :
r jh = Ya que las variables originales están tipificadas. La matriz factorial (factor matrix) esta dado por los coeficientes r j h representa la correlación entre la 1ra componente principal y las variables originales. Se presenta en el siguiente cuadro :MATRIX FACTORIAL
Una vez calculados los coeficientes mh j se pueden obtener puntuaciones Z h i es decir, los valores de las componentes correspondientes a cada observación a partir de la siguiente relación.. Z h i = m h 1 X1i + m h 2 X2 i + . + m h p X p i h= 1,2 p i= 1,2, ..nSi una componente se divide por su desviación típica se obtiene una componente tipificada. Así, designando por Y h a la componente h-ésima tipificada, esta viene definida por : Y h = Z h / ( l h ) ½ = m h 1 X1i / ( l h ) ½ + m h 2 X2 i / ( l h ) ½ + . + m h p X p i / ( l h ) ½Como ya se ha indicado, a la matriz formada por los coeficientes definidos mh 1 / ( l h ) ½ se le denomina matriz de puntuaciones de los factores, (factor score coefficient matriz) |