Las funciones de bienestar pueden definirse del siguiente modo1 : si el bienestar social es una función del nivel de vida de los individuos dentro de una sociedad, "y " es un indicador del nivel de vida de la población (ingreso, gasto u otro indicador por persona) con valores ,, … , para cada uno de los individuos y W el valor del bienestar social, entonces

donde n es el tamaño de la población y es una función que debe cumplir con ciertos supuestos para que sea adecuado al análisis de la desigualdad de los ingresos y la pobreza.

Si es homogénea de grado 1 sucederá que cambios proporcionales en las tendrán el mismo efecto proporcional sobre el agregado y en consecuencia podrá escribirse

es decir, si es, por ejemplo, el ingreso, el nivel del bienestar social dependerá del ingreso promedio y de la distribución del ingreso .

En una situación de perfecta igualdad en la distribución de los ingresos, todas las personas tendrán el mismo nivel de ingreso y el promedio será también el mismo. En consecuencia , lo cual significa que el bienestar social será igual al nivel promedio de ingresos . También puede deducirse de la expresión anterior que para una situación con algún grado de desigualdad de los ingresos (situación que se produce cuando al menos un individuo tiene más ingreso que otro) el bienestar social no pude ser mayor al promedio, y por tanto podrá escribirse

donde es la medida de la desigualdad de los ingresos, la cual será igual a cero si hay perfecta igualdad, y mayor que cero, pero menor o igual a uno si existe algo de desigualdad. El nivel de bienestar social depende, en consecuencia, del promedio y la desviación de los ingresos, existiendo una relación positiva con el primero y una negativa con el segundo.

Respecto a las medidas de distribución del ingreso puede señalarse lo siguiente. Si es el ingreso del individuo , donde ,n es el número de individuos en una distribución dada y es el promedio de la distribución, la fórmula del coeficiente de Gini () es la siguiente:

Las otras tres medidas pueden expresarse con la fórmula general siguiente:

donde es un entero que toma valores de 0, 1 y 2. Utilizando la regla de l'Hopital puede obtenerse la medida de desigualdad cuando , es decir, el promedio del logaritmo de la desviación:

De manear similar, cuando , se obtiene el índice de Theil, el cual estará dado por:

Cuando , se obtiene una transformación (la mitad del cuadrado) del coeficiente de variación, el cual tendrá la expresión siguiente:

De las cuatro medidas de desigualdad de los ingresos descritas, sólo las de la clase de Entropía Generalizada pueden descomponerse de una forma muy simple. Si la desigualdad total () es la suma de los componentes entre-grupos () e intra-grupos ():, y la población se divide en j subgrupos, las fórmulas para cada uno de los componentes son las siguientes:

donde

es el promedio del ingreso en el subgrupo j,

es la medida de desigualdad para la población en el subgrupo j,

es la proporción del ingreso del subgrupo j respecto al total, y

es la proporción de la población del subgrupo j respecto a la total.

En consecuencia, el tamaño de la desigualdad explicada por una característica o atributo específico de la población , para una medida de desigualdad, será en porcentaje:

. La importancia de este dato radica en que si su valor es pequeño, las políticas que buscan reducir las diferencias, por ejemplo, regionales o educativas, tendrán poco efecto sobre la desigualdad total y por tanto será poco significativas desde la perspectiva de la equidad.

Por su parte, de las medidas de pobreza puede decirse lo siguiente. Si el ingreso es el indicador de bienestar () y la línea de la pobreza () el indicador del mínimo necesario para sobrevivir² , dicho índice tiene la expresión siguiente:

donde es el tamaño de la población, la cantidad de personas pobres y es un parámetro que se interpreta como de aversión a la pobreza, la cual refleja la sensibilidad de las personas a la distribución del ingreso al interior de los pobres. La expresión anterior no es más que el promedio de una medida individual de pobreza que toma el valor de para el pobre y cero para el no pobre.

Si , , la medida de pobreza indicará la proporción de la población con un ingreso inferior a la línea de pobreza:

es decir, medirá la incidencia (extensión o prevalencia) de la pobreza; en realidad, la medida más simple y más común de la pobreza. Si se refiere solo a la canasta de alimentos, se referirá a la proporción de pobres extremos o indigentes, es decir, aquellos cuyo ingreso percápita no alcanza para adquirir una canasta básica de alimentos. Si se refiere a los alimentos y no alimentos, se referirá a la proporción de pobres absolutos (extremos y no extremos), es decir, aquellos cuyo ingreso percápita no alcanza para adquirir una canasta básica total.

El indicador de incidencia de la pobreza tiene la ventaja de ser de muy fácil comprensión, pero sólo es satisfactoria para algunas comparaciones de pobreza. Sólo permite evaluar el progreso global en la reducción del fenómeno, pero no medir, por ejemplo, el impacto sobre la profundidad o intensidad de la pobreza. Significa que si una persona pobre repentinamente se vuelve más pobre, el indicador de incidencia de la pobreza no variará, es decir, es un indicador insensible a los cambios en la profundidad de la pobreza. Sólo mide cuántos pobres existen, pero no qué tan pobres son los pobres.

Desde este punto de vista un mejor indicador es el de la brecha de la pobreza, el cual se obtiene haciendo :

que no es más que el promedio de las brechas de pobreza de la población (expresadas en proporción), donde los no pobres tienen brecha igual a cero. Este indicador puede reescribirse como:

donde es llamado indicador de la intensidad de la pobreza ya que mide la brecha (en proporción) entre la línea de la pobreza y el ingreso promedio de los pobres. , sin embargo, no es una buena medida de la pobreza ya que, por ejemplo, si un pobre hace lo suficiente para que su ingreso supere la línea de la pobreza, el promedio del resto de pobres debería caer y por tanto aumentar. Esta es una situación contraria a lo que cabría esperar ya que si uno de los pobres mejora su situación y ninguno empeora el indicador de pobreza debería reducirse. Lo anterior no se produce si es multiplicado por , es decir, registrará una declinación si ocurre lo señalado en el ejemplo.

La brecha de la pobreza también puede interpretarse como indicador del monto necesario para eliminar la pobreza efectuando transferencias a los pobres. El costo mínimo de estas transferencias no es más que la suma de todas las brechas de una población (considerando una brecha igual a cero para los no pobres), es decir, la suma de lo que tendría que entregarse para que el ingreso de cada persona pobre alcance la línea de la pobreza:

El costo mínimo para eliminar la pobreza vía transferencias se lograría si el gobierno tuviera la información suficiente para llegar a cada uno de los pobres, mientras que el costo máximo sería en el caso que el gobierno no contara con ninguna información sobre los pobres; es decir, tendría que dar a toda la población el equivalente a z para asegurarse que ninguno sea pobre, o sea, una cantidad igual a . Observando la expresión sobre puede notarse que este indicador no es más que el ratio entre el mínimo y máximo costo.

El indicador de la brecha de la pobreza si bien muestra qué tan pobres son los pobres, tiene la desventaja de que no puede capturar bien las diferencias existentes entre la situación de los más pobres con respecto a la de los menos pobres. Por ejemplo, si se tiene 2 distribuciones de ingreso familiar para 4 personas: la distribución A igual a (1, 2, 3, 5) y la distribución B igual a (2, 2, 2, 5) y una línea de pobreza z=3, entonces el indicador de incidencia de pobreza en ambas distribuciones será igual a 3/4 = 0.75 y el indicador de la brecha de la pobreza también en ambos casos será igual a 0.375. Sin embargo, en A el más pobre tiene solo la mitad del ingreso del más pobre de B. Si el menos pobre de A transfiere 1 al más pobre, la distribución de A será igual a la de B, no habiéndose afectado el indicador de la brecha de la pobreza por tal transferencia. Es decir, es un indicador insensible a la situación de pobreza entre los pobres. Desde este punto de vista un mejor indicador es el de la severidad de la pobreza , el cual da un mayor peso a las brechas de los más pobres y se obtiene haciendo :

es decir, sumando las brechas de pobreza de la población, dando un peso mayor a las brechas de los más pobres. Como los pesos dados son las proporciones de pobreza de ellos mismos, una brecha de 10 % respecto a la línea tendrá un peso de 10 %, mientras que una de 40 % tendrá un peso de 40 % (nótese que en las brechas tienen el mismo peso). En el ejemplo, la distribución A tiene un igual a 0.219, mientras que la B un igual a 0.187. Es decir, en A la pobreza tiene un grado de severidad mayor que en B.

Una desventaja del indicador de severidad de la pobreza es que no es de muy fácil interpretación como los indicadores de incidencia o brecha de la pobreza. Aunque, como se ha mostrado, es bastante clara su capacidad para ordenar distribuciones de ingreso (o cualquier otro indicador de niveles de vida).

Una de las ventajas de esta clase de indicadores es que cumplen con la propiedad de descomposición, lo cual posibilita que sea utilizado para fines de política económica, especialmente para efectos de un uso más eficiente de los recursos fiscales destinados al gasto social³ .